Equações de 2º grau

Denomina-se equação do 2º grau na incógnita x, toda equação da forma:

ax2 + bx + c = 0; a, b, c  ∊ IR e a≠ 0

    Exemplo:

• x² - 5x + 6 = 0    é um equação do 2º grau com a = 1,  b = -5  e  c = 6.
• 7x² - x = 0         é um equação do 2º grau com a = 7,  b = -1  e  c = 0.
• x² - 36 = 0         é um equação do 2º grau com a = 1,  b = 0 e c = -36.

    Nas equações escritas na forma ax² + bx + c = 0 (forma normal ou forma reduzida de uma equação do 2º grau na  incógnita x) chamamos a, b e c de coeficientes.

                                                a    é sempre o coeficiente de  x²;

                                                b    é sempre o coeficiente de x,

                                                c    é o coeficiente ou termo independente.

Equação completas e Incompletas

    Uma equação do 2º grau é completa quando b e c são diferentes de zero. Exemplos:

x² - 9x + 20 = 0   e -x² + 10x - 16 = 0 são equações completas.

    Uma equação do 2º grau é incompleta quando b ou c é igual a zero, ou ainda quando ambos são iguais a zero. Exemplos:

x² - 36 = 0 (b = 0)

x² - 10x = 0 (c = 0)

4x² = 0 (b = c = 0)

Resolução de equações incompletas

   

   1º Caso: Equação do tipo ax² + bx = 0 .

   Exemplo:

• Determine as raízes da equação  x² - 8x + 6 = 0 ,.
  SoluçãoInicialmente, colocamos x em evidência:
                  x(x-8)=8
               x=0  v  x-8=0
                x=0      x=8 

  2º Caso: Equação do tipo ax² + c = 0 .

   Exemplos:

• Determine as raízes da equação 2x² - 72x = 0 .
  Solução

                       

Resolução de equações completas

Uma equação do 2º grau possui a seguinte lei de formação: ax² + bx + c = 0, em que a, b e c são os coeficientes. 

Na fórmula de Bhaskara, utilizaremos somente os coeficientes. Veja:

1º passo: determinar o valor do discriminante ou delta (∆)

• Caso Δ < 0, a equação não tem raízes reais
• Caso Δ = 0, a equação tem duas raízes reais e iguais
• Caso Δ > 0, a equação tem duas raízes reais e diferentes

Exemplo de resolução de uma equação do segundo grau

Encontre as raízes da equação: 2x² - 6x - 56 = 0

Portanto, os coeficientes da equação são a = 2, b = –6 e c = –56.

∆ = b² – 4 * a * c
∆ = (-6)² – 4 * 2 * (-56)
∆ = 36 + 448
∆ = 484

2º passo:

Os resultados são  e x1 = 7  e  x2 = -4

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Função Quadrática ou do 2º grau

Função Quadrática ou do 2º grau

Definição

Chama-se função quadrática, ou função polinomial do 2º grau, qualquer função f de IR em IR dada por uma lei da forma f(x) = ax² + bx + c, onde a, b e c são números reais e a≠0.
Vejamos alguns exemplos de função quadráticas:

1. f(x) = 3x²-4x+1,  onde a = 3,   b = - 4 e c = 1
2. f(x) = x²-1,          onde a = 1,   b = 0 e c = -1
3. f(x) = 2x²+3x+5, onde a = 2,   b = 3 e c = 5
4. f(x) = - x²+8x,     onde a = 1,   b = 8 e c = 0
5. f(x) = -4x²,          onde a = - 4, b = 0 e c = 0

Gráfico

O gráfico de uma função polinomial do 2º grau, y = ax² + bx + c, com a≠0, é uma curva chamada parábola.

Exemplo:

Vamos construir o gráfico da função y = x²:
Primeiro atribuímos a x alguns valores, depois calculamos o valor correspondente de y e, em seguida, ligamos os pontos obtidos da tabela.

x y -3 9 -2 4 -1 1 0 0 1 1 2 4 3 9

Observação:

Ao construir o gráfico de uma função quadrática y = ax² + bx + c, notaremos sempre que:

• se a > 0, a parábola tem a concavidade voltada para cima;
• se a < 0, a parábola tem a concavidade voltada para baixo;

Estudo de funcao do grafico anterior

• zero ou raiz desta função

zero ou raiz desta função é o valor de x que a anula, isto é, é o valor de x para o qual f(x) = 0, ou em outras palavras, é o valor de x que resulta em y = 0.

Logo y=0 Então  x = 0 é zero ou raiz desta função.

• Ordenada na origem

Ordenada na origem desta função é o valor de y para o qual x = 0, ou em outras palavras, é o valor de y que resulta em x = 0.

Logo x=0 Então  y = 0 é Ordenada na origem desta função.

• Dominio da funcao

Domínio de função é conjunto de valores de x para qual existe uma função, isto é, valores de x  usados para obter os valores de y numa função.

No grafico anterior para todos valores de x existe um valor de y, entao, o dominio é x∊ ]-∞;+

1) A figura abaixo ilustra uma ponte suspensa por estruturas metálicas em forma de arco de parábola.

Os pontos A, B, C, D e E estão no mesmo nível da estrada e a distância entre quaisquer dois consecutivos é 25m. Sabendo-se que os elementos de sustentação são todos perpendiculares ao plano da estrada e que a altura do elemento central CG é 20m, a altura de DH é:

(A) 17,5m 
(B) 15,0m 
(C) 12,5m 
(D) 10,0m 
(E) 7,5m

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Inequações de primeiro grau

Inequação é uma expressão matemática que possui a propriedade de expressar desigualdades, diferente da equação que expressa igualdade. 

O sinal usado na equação é o símbolo de igual (=), já na inequação usaremos os seguintes símbolos matemáticos: 

> : maior que

< : menor que 
≥ : maior que ou igual 
≤ : menor que ou igual 

Os passos para resolver uma inequação são semelhantes aos de uma equação. 

Podemos generalizar a apresentação de uma inequação da seguinte forma: 

ax + b > 0 
ax + b < 0 
ax + b ≥ 0 
ax + b ≤ 0 
Onde a e b são números reais e a ≠ 0 
Resolução de inequações e representação na reta real. 

Exemplo 1 
2x + 7 > –1 + 2 
2x > –1 + 2 – 7 
2x > –8+2 
2x > –6 
x > –3 
{xЄR:x > –3} 



Exemplo 2 
4x – 10 < 20 – 2x 
4x + 2x < 20 + 10 
6x < 30 
x < 5 
{xЄR:x < 5} 

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Equações de primeiro grau (com uma variável)

Equação é toda sentença matemática aberta que exprime uma relação de igualdade. A palavra equação tem o prefixo equa, que em latim quer dizer "igual". Exemplos:

2x + 8 = 0

5x - 4 = 6x + 8

3a - b - c = 0

Não são equações:

4 + 8 = 7 + 5   (Não é uma sentença aberta)

x - 5 < 3   (Não é igualdade)

5≠ -2   (não é sentença aberta, nem igualdade)

A equação geral do primeiro grau:

ax+b = 0

onde a e b são números conhecidos e a diferente de 0, se resolve de maneira simples: subtraindo b dos dois lados, obtemos:

ax = -b

dividindo agora por a (dos dois lados), temos:

   Considera a equação 2x - 8 = 3x -10

   A letra é a incógnita da equação. A palavra incógnita significa " desconhecida".

   Na equação acima a incógnita é x; tudo que antecede o sinal da igualdade denomina-se 1º membro, e o que sucede, 2º membro.               

   Qualquer parcela, do 1º ou do 2º membro, é um termo da equação.

Resolução

                2x - 8 = 3x -10

                2x - 3x= -10+8

                        -x=-2              /(-1)

                         x=2

Equação do 1º grau na incógnita x é toda equação que pode ser escrita na forma ax=b, sendo a e b números racionais, com a diferente de zero.

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POTÊNCIA COM EXPOENTE FRACIONÁRIO

1. Definição de 

Definição Para um número real a e um inteiro positivo n (n ³ 2), definimos  =  desde que exista .

Exemplos

 não representa um número pois  não tem resultado de numero reais (!)

2. Definição de 

Nós podemos ampliar a definição de  para expoentes fraccionário com numeradores distintos de 1. Por exemplo, se escrevermos  como , temos

         

Veja que simplificamos  e levando ao cubo a raiz quadrada de 16. Essa simplificação também poderia ser feita extraindo a raiz quadrada do cubo de 16.

         

Definição Sejam m e n inteiros positivos, com n ³ 2. Se a é um número para o qual existe , então           Também,

Exemplos
          

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Raízes e radicais matematicas

Já sabemos que 6² = 36. Aprenderemos agora a operação que nos permite determinar qual o número que elevado ao quadrado equivale a 36.

, pois 6 elevado ao quadrado é 36.

Essa operação é a inversa da potenciação e denomina-se radiciação.

Outros exemplos:

, pois 2³ = 8.
, pois .

Sendo assim:

Notação

Leitura

 (lê-se “raiz quadrada de 81”)
 (lê-se “raiz cúbica de 64”)

Observação:
Na indicação de raiz quadrada, podemos omitir o índice 2. Por exemplo, .

Raízes de índice par

Quando elevamos um número positivo ou um número negativo a um expoente par, o resultado sempre é um número positivo.

Exemplo:

(-4)² = (-4)(-4) = 16

e

(+4)² = (+4)(+4) = 16

Porém, como em matemática o resultado de uma operação deve ser único, fica definido que:

Genericamente:

Qualquer raiz de índice par de um número positivo é o número positivo que elevado ao expoente correspondente a esse indíce equivale ao número dado.

Observação:

Não existe raiz real de um número negativo se o índice for par.

Exemplo:

 não existe, pois não há nenhum número real que elevado ao quadrado dê - 4.

Raízes de índice ímpar

Quando o índice de uma raiz é ímpar e o radicando é positivo, a raiz é positiva.

Quando o índice de uma raíz é ímpar e o radicando é negativo, a raiz é negativa.

Exemplos:

Propriedades dos radicais

Propriedade	Justificativa	Exemplo
	Escrevendo em forma de potência com expoente fraccionário:

Propriedades operatórias dos radicais

Propriedade		Justificativa	Exemplo
Radical de um produto
Radical de um quociente
Mudança de índice

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